相談に回答したプロ便利屋リエゾン

まずは、脱脂・清掃を行います。中性洗剤やアルコールで油分・汚れを完全に除去してから施工をしましょう。
下地処理についてですが、足付けやプライマーを使うと賃貸の場合現状回復する際にやや難があると思います。
しっかりと付けたい場合は、比較的に剥がしやすい弾性接着剤を使用して施工します。
原状回復を考えると両面テープを使って張ってゆくことがお勧めです。
両面テープは、スポンジ状の物（剥がす時にちぎれやすい）ではなくある程度厚みがある強力なタイプが在りますので其方を使うと良いと思います。
磁石が点くような壁面であれば、マグネットを両面テープでタイルに張りパチンと張る方法が、原状回復や部分的な補修にも最も向いているのでおすすめします。

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ユニットバス折れ戸の「縦のゴムパッキン（縦枠パッキン）」は、メーカーによっては「自分で交換できない部品」に分類されていることが多いです。
恐らく、作業上の安全性の問題も有ると思われます。
（例えば、LIXIL（INAX）製品では、縦枠パッキンやタイト材は一般ユーザーが購入・交換できないとメーカーサイトのQ&Aに明記されています。）
下枠パッキン（ドアの下の水切り部分）だけは自分で交換できる場合があります。
この場合、型番を調べてメーカーのお客様対応部署に問い合わせをしますが、ドアの右上等にステッカーやシールなどで張られていることが多いです。
過去に割れた、アクリル板を交換した経験はありますがパッキンは流用しました。ただし、メーカーは推奨しないと思われます。メーカー修理・交換を手配する事をすすめられると思われます。
黒カビ汚れが酷い際には、キッチンハイター等の塩素系の漂白剤を塗布して数時間待つときれいになります。